Πέμπτη, 8 Ιανουαρίου 2009

Το ταξίδι των μιγαδικών αριθμών

Στην Ευρώπη του 16ου αιώνα, μέσα σ' ένα γενικότερο κλίμα σύγχυσης και αναζήτησης προσανατολισμών, όταν τα Μαθηματικά έχαναν έδαφος το οποίο κέρδιζε η Φυσική, δύο ήταν οι βασικές αναζητήσεις και συνάμα τα μεγάλα "τρόπαια" των μαθηματικών της εποχής. Κατ' αρχάς ο τετραγωνισμός του κύκλου (πρόβλημα το οποίο φαίνεται, αν δεν είναι σίγουρο, ότι επιδέχεται μόνο προσεγγιστικών λύσεων) και η λύση της τριτοβάθμιας εξίσωσης. Πολλοί σπουδαίοι μαθηματικοί είχαν αποτολμήσει τότε τα σπουδαία αυτά εγχειρήματα αλλά, περιέργως, μόνο ένας σχετικά άγνωστος Πολωνός διδάκτορας είχε με επιτυχία καταφέρει να καταλήξει σε κάποιες φόρμουλες που εκ πρώτης όψεως παρήγαγαν, με απόλυτα επιστημονικά θεμελιωμένη διαδικασία, όλες (ή μήπως όχι;) τις λύσεις της τριτοβάθμιας εξίσωσης.

Προς κακή του τύχη ο Πολωνός καθηγητής δεν δημοσιεύει, ούτε διαδίδει με κάποιο άλλο τρόπο την ανακάλυψή του, πιθανώς φοβούμενος ενδεχόμενη κλοπή ή λάθη στην εργασία του (ήταν αλήθεια δύσκολο να πιστέψει κάποιος ότι ένα εξαιρετικά δυσεπίλυτο πρόβλημα στο οποίο είχαν αποτύχει τόσοι και τόσοι τρανοί μαθηματικοί της εποχής είχε βρει τη λύση του) παρά μόνο όταν αρρώστησε βαριά από ανίατη ασθένεια (πιθανώς καρκίνο). Στο νεκροκρέβατό του εμπιστεύτηκε τα χειρόγραφά του σ' έναν πολύ μέτριο, όσο και διαποτισμένο με σύνδρομα κατωτερότητας, μαθητή του. Ο εν λόγω μαθητής ακολούθησε ακαριαία το παράδειγμα των μη υπεύθυνων και "λίγων" ανθρώπων που αποκτούν τρομερή δύναμη. Άρχισε να περηφανεύεται στις μαθηματικές συναγωγές της εποχής, να κομπάζει και να παρουσιάζει την εργασία ως δική του, φτάνοντας στο σημείο να εξασφαλίζει τα προς το ζειν με χρήματα που κέρδιζε απ' τις λεγόμενες "μονομαχίες" των μαθηματικών που λάμβαναν χώρα (σύνηθες φαινόμενο τότε που αποσκοπούσε στο να προαχθούν οι διακριθέντες σε μηχανικούς της αυλής των φεουδαρχών και να εξασφαλίσουν έτσι εξέχουσα θέση στο κοινωνικό στερέωμα).

Ο καιρός περνούσε ευήμερα για το νεαρό μαθητή, μέχρι τουλάχιστον να διαπράξει το λάθος που θα σήμαινε το ντεκαντάνς του. Μετά από κατανάλωση σεβαστής ποσότητας κρασιού προκάλεσε σε μια τέτοια μονομαχία τον "πολύ" Νικολό Φοντάνα Ταρτάλια (Niccolò Fontana Tartaglia). Η μονομαχία ορίστηκε σε δύο μήνες από την πρόκληση και οι μονομάχοι ανέλαβαν να προετοιμαστούν. Ο μεν νεαρός περιμένοντας δρέψει τους καρπούς της επιτυχίας του, ο δε Ταρτάλια μαχόμενος με το τέρας του προβλήματος της τριτοβάθμιας εξίσωσης. Όλα έδειχναν πως ο αγνώμονας προαναφερθείς θα τα κατάφερνε και αυτή τη φορά όμως, και επειδή η ζωή είναι μια μεγάλη φάρσα αναπάντεχων γεγονότων ακόμα και για τους μαθηματικούς, ο Ταρτάλια την τελευταία νύχτα της προθεσμίας καταφέρνει να φτάσει στη λύση με δική του μέθοδο κατατροπώνοντας έτσι τον αντιπαλό του στην επικείμενη αντιπαράθεση, αφού του υπέδειξε πιο σύντομες οδούς, ατοπήματα, ακόμα και καθαρά σφάλματα στη μέθοδό του!

Έχω λησμονήσει ν' αναφέρω στο σημείο αυτό ότι οι συναντήσεις των μαθηματικών (λόγω πολυτιμότητας της γνώσης και με την υλική έννοια του πολύτιμου) ήταν άκρως μυστικές. Κανείς δεν μάθαινε τα πρακτικά, κανείς στην ουσία δεν γνώριζε τίποτα πέρα απ' τον νικητή, τους "διαιτητές" και ένα κλειστό κύκλο κοινού το οποίο έδινε όρκο σιωπής. Παρ' όλα αυτά, και επειδή είχε ήδη γίνει γνωστό το ζήτημα της τριτοβάθμιας, έχοντας ως νικητή τον Ταρτάλια, γρήγορα μαθεύτηκε πως είχε μηχανευτεί μια δυνατή μέθοδο επίλυσης του προβλήματος χωρίς ωστόσο να έχει γίνει γνωστό ποιά είναι αυτή συγκεκριμένα.

Με σκοπό να μάθει περισσότερα, ένας άλλος μαθηματικός/ιατρός από την Ιταλία, ο Τζερόλαμο Καρντάνο (Gerolamo Cardano) επισκέφθηκε τον Ταρτάλια και κατάφερε τελικά να του αποσπάσει την πλήρη λύση του προβλήματος (εικάζεται πως τον απείλησε να δημοσιοποιήσει στοιχεία που ήθελαν τον Ταρτάλια να έχει αντιγράψει επί λέξει εργασίες αρχαίων Ελλήνων μαθηματικών (Αρχιμήδης, Ευκλείδης) και να τις έχει παρουσιάσει ως δικές του - ακόμα ένα τραγελαφικό ίσως σημείο της ιστορίας). Στη συνέχεια ακολούθησε η δημοσίευση της λύσης από τον Καρντάνο στο βιβλίο του Ars Magna και ένας δεκαετής πόλεμος μεταξύ των δύο ο οποίος εν προκειμένω δεν μας αφορά.

Το συγκλονιστικό γεγονός που μας αφορά είναι ότι παρατηρήθηκε (πιθανώς από κάποιους Γάλλους μαθηματικούς) πως η, κατά τ' άλλα πλήρως εγκαθιδρυμένη σε αδιάσειστα μαθηματικά θεμέλια, λύση του Ταρτάλια δεν απέδιδε όλες τις πραγματικές αριθμητικές λύσεις της εξίσωσης! Στο ακόλουθο χρονικά διάστημα επικράτησε χάος στη μαθηματική κοινότητα. Πολλοί μηδενιστές υποστήριζαν πως θα πρέπει η λύση ν' απορριφθεί εντελώς (κάτι το οποίο φαντάζει εντελώς ανόητο - δεν μπορεί ν' απορρφθεί κάτι που δεν αποδεικνύεται με λογική συνέπεια λάθος) ή πως θα πρέπει τα Μαθηματικά να χτιστούν εκ θεμελίων σε άλλες βάσεις.

Μέσα σε αυτό το κλίμα πανικού ένας ερασιτέχνης (διότι οι λαμπρότερες συνεισφορές στην τέχνη και στην επιστήμη γίνονται συνήθως από ερασιτέχνες) ακριβώς λόγω της ιδιότητάς του αυτής έπραξε το αδιανόητο: Έψαξε τις λύσεις της εξίσωσης μέσα απο πράξεις με αρνητική διακρίνουσα και πράγματι, κατέληξε σε μεθόδους που παρήγαγαν πλέον όλες τις λύσεις! Παρά τον αρχικό χλευασμό που υπέστη ο κύριος Σιπιόνε ντελ Φέρο (Scipione del Ferro) δεν ήταν δυνατό να παραγκωνιστεί. Η μέθοδός του έγινε σύντομα γνωστή και, φυσικά, επακολούθησε πανδαιμόνιο. Ένα πανδαιμόνιο που ενισχυόταν από τις συνεχείς ανακαλύψεις των μαθηματικών για συντομότερες αποδείξεις σπουδαίων θεωρημάτων μέσα απ' το φάσμα των αριθμών που προέκυψε απ' την παραδοχή της αρνητικής διακρίνουσας και έδωσε το έναυσμα σε κύκλους της εποχής να προτάξουν ισχυρισμούς που υποστήριζαν ότι ο Ταρτάλια είχε ανακαλύψει "το Θεό" ή "φαντάσματα".

Φυσικά μέσα στο πεδίο της απόλυτης λογικής τέτοιες αντιλήψεις δεν έμελλε να επιζήσουν για πολύ. Οι αριθμοί αυτοί που ανακαλύφθηκαν (και όχι εφευρέθηκαν φυσικά) ονομάστηκαν φανταστικοί, το "ζευγάρωμά" τους με το σύνολο R "μιγαδικοί" με τεράστιες σήμερα εφαρμογές σε τομείς όπως η Πληροφορική και ο Ηλεκτρισμός, πράγμα φυσικά θαυμαστό αν σκεφτεί κανείς τη φύση, ή μάλλον την μη-φύση και την μη-υπόσταση παρά στον κόσμο του φανταστικού των αριθμών αυτών!

Αυτό είναι και το τέλος της σημερινής αφήγησης. Κλείνω με μια ευχή: να μην ξανα ακουστεί σ' ελληνικό Λύκειο, ως είθισται, πως οι μαθηματικοί είχαν κάποιου είδους βίτσιο για την ανακάλυψη ενός αριθμού υψωμένου στο τετράγωνο που θα απέδιδε αρνητικό αποτέλεσμα. Οι μιγαδικοί δεν εφευρέθηκαν, ανακαλύφθηκαν και προυπήρχαν και αυτό τους κάνει ένα απ' τα πιο θαυμαστά δημιουργήματα του κόσμου των Μαθηματικών.

-------------------------------------------------------------------------------------------

Βιβλιογραφία:

Πραγματικά δεν μπορώ να αρχίσω και να τελειώσω κάπου. Η αλήθεια σε περιπτώσεις σαν αυτή μπορεί ν' αποδειχθεί εξαιρετικά δυσεύρετη, ούτε και ισχυρίζομαι ότι τα στοιχεία μου είναι αδιάσειστα. Σας προσκαλώ να μου επισημάνετε τυχόν ατοπήματα ή/και ιστορικές ανακρίβειες σ' έναν γόνιμο διάλογο!

9 σχόλια:

  1. Καλή (δεύτερη!) αρχή.

    Χαίρομαι πολύ να διαβάζω για πράγματα που δεν ξέρω (πόσο μάλλον σε τέτοια θέματα) ειπωμένα τόσο όμορφα - να συνεχίσεις =)

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  2. Ωραία γραφή και ιστορίες απο το μαθηματικό κόσμο του παρελθόντος, το χαρήκα δηλαδή το κείμενο. Αίντε καλή συνέχεια και ελπίζω να σε διαβάζουν όλο και περισσότεροι.

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  3. Όμορφα γράφεις, γλυκούτσικα, και με ενδιαφέρον περιεχόμενο. Οι ηχητικές αποδόσεις των ιταλικών ονομάτων, όμως, είναι λάθος. Αν θέλεις μπορώ να σου πω πώς πραγματικά ακούγονται, και πώς γράφεται το κοντινότερο σε αυτό στα ελληνικά. Επίσης οι φανταστικοί αριθμοί δεν είναι το μόνο πράγμα στα μαθηματικά που είναι ανακάλυψη και όχι εφεύρεση. Μιας και τα μαθηματικά μεταφράζουν τον κόσμο, αυτό είναι πολύ συχνό φαινόμενο, καθώς δεν μπορεί κανείς να εφεύρει τον κόσμο, μπορεί μόνο να τον ανακαλύψει. Όταν λοιπόν μιλάμε για αριθμούς είναι αδύνατον να "μην υπήρχαν". Άλλο αν μιλήσουμε για κάποιο μαθηματικού "εργαλείο" - εκεί όντως μπορούμε να μιλήσουμε για εφεύρεση.

    Ένα βιβλίο με τέτοιες ιστοριούλες θα ήταν πολύ καλό υλικό για να κάνει τους μαθητές να ενδιαφερθούν για τα μαθηματικά, που συνήθως φαντάζουν ψυχρά λόγω της απόλυτης αντικειμενικότητάς τους. Οι ιστοριούλες φέρνουν κοντά στον αναγνώστη κάτι που ήδη υπάρχει, αλλά δεν φαίνεται εύκολα αλλοιώς, το ότι είναι κι αυτά, για πολλούς, και ειδικά γι αυτούς που ανακάλυψαν τα διάφορα πράγματα που για μας είναι πια δεδομένα, και γι αυτούς που θ' ανακαλύψουν τα επόμενα, προσωπική υπόθεση. Και κάθε προσωπική υπόθεση αγγίζει, τελικά.

    :)

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  4. Σας ευχαριστώ πολύ για τα καλά σας λόγια και ειδικά εσένα Αλίνα για την πραγματικά εποικοδομητική κριτική σου :)!

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  5. Πολύ ωραίο το κείμενο. Δε βρίσκω πάντως κάποιο λάθος στην απόδοση των ιταλικών ονομάτων. Το λάθος είναι ίσως στην ελληνική γλώσσα που της λείπουν κάποια έξτρα σύμφωνα ;-P

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  6. Πολλά ονόματα είχαν όντως τονικά λάθη τα οποία διορθώθηκαν μετά την ευγενική συνδρομή της Αταλάντης :).

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  7. Πολύ καλό Κύριε Θεμς, έχω μια φίλη που λέγεται Tartaglia :) keep on the good work!

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  8. Κλείνω με μια ευχή: να μην ξανα ακουστεί σ' ελληνικό Λύκειο, ως είθισται, πως οι μαθηματικοί είχαν κάποιου είδους βίτσιο για την ανακάλυψη ενός αριθμού υψωμένου στο τετράγωνο που θα απέδιδε αρνητικό αποτέλεσμα. Οι μιγαδικοί δεν εφευρέθηκαν, ανακαλύφθηκαν και προυπήρχαν και αυτό τους κάνει ένα απ' τα πιο θαυμαστά δημιουργήματα του κόσμου των Μαθηματικών.

    το κραταω αυτο το κομματι ιδιαιτερα γιατι εχω βαρεθει να ακουω συμμαθητες να λενε "μα γιατι μαθαινουμε αχρηστα πραγματα??!" και σκεφτομαι να απαντησω αναλογως ....:P τεσπα πολυ καλο κειμενακι,δειχνει το παρασκηνιο των μαθηματικων..!

    ΑπάντησηΔιαγραφή